molte volte in orologeria certi attrezzi sono indecifrabili ,forse perché costruiti per far certi lavori su certi calibri e poi non usati più e se non trovi chi è più che esperto finisce nel limbo di vattelapesca

Sono curioso anch'io

si può arrivare per tentativi, quanto spazio c'è da dove esce il punzone e la levetta forata? e che cosa ci potrebbe entrare in quello spazio?
il foro della levetta che diametro ha?

Giusto per tentare di capire...

Per allargare le virole?

I punzoni hanno una battuta quindi usciranno fuori solo per la misura giusta all'operazione da fare, c'è da considerare che sono solo due misure.

La leva forata ha una regolazione che probabilmente serve a bloccare il pezzo da lavorare/punzonare/estrarre

Non dovrebbe essere difficile per chi conosce gli organi interni di un orologio capirne l'uso... credo io non li conosco purtroppo

Ho trovato questa foto forse può tornare utile per capire a cosa serve

Probabilmente ha lo stesso scopo di questo più antico. Svasare, fresare alloggiamenti per pietre o fori filettati. I due punzoncini servono solo per centrare sul foro prima di bloccare l'attrezzo. Può essere usato inserito sulla basetta di legno oppure trasportato sul ponte o platina su cui si interviene.
Ovviamente è solo un'ipotesi.

Osservando bene la foto che ho postato io sembra che l'attrezzo sia diverso da quello che ha postato Calico

Infatti, il tuo sembrerebbe una sorta di estrattore, dove la punta avanza lentamente azionata dalla ghiera a vite.